Có tồn tại hai nhánh riêng biệt của tài chính đòi hỏi kỹ thuật định lượng tiên tiến: định giá các phái sinh và quản lý rủi ro và danh mục đầu tư. Một trong những khác biệt chính là họ sử dụng các xác suất khác nhau, cụ thể là xác suất rủi ro trung tính (hay xác suất định giá hưởng chênh lệch), ký hiệu là "Q", và xác suất thực tế (hoặc actuarial), ký hiệu "P".

Định giá phái sinh: thế giới Q

Mục tiêu của định giá phái sinh là để xác định mức giá hợp lý của chứng khoán được đưa ra trong các điều kiện của các chứng khoán thanh khoản hơn mà giá của chúng được xác định bởi quy luật của cung và cầu. Ý nghĩa của "hợp lý" phụ thuộc, tất nhiên, vào việc liệu người đó là mua hoặc bán chứng khoán. Ví dụ về các chứng khoán được định giá là quyền chọn bình thường và quyền chọn đặc biệt, trái phiếu chuyển đổi, vv

Một khi một giá hợp lý đã được xác định, các thương nhân bên bán có thể làm ra một thị trường trên chứng khoán này. Do đó, định giá phái sinh là một bài tập "ngoại suy" phức tạp để xác định giá trị thị trường hiện tại của một chứng khoán, sau đó được sử dụng bởi các cộng đồng bên bán.Định giá phái sinh định lượng được khởi xướng bởi Louis Bachelier trong Lý thuyết đầu cơ (xuất bản năm 1900), với việc giới thiệu các quá trình cơ bản nhất và có ảnh hưởng nhất, chuyển động Bờ-rao, và các ứng dụng của nó đối với việc định giá quyền chọn. Bachelier đã mô hình hóa chuỗi thời gian của các thay đổi trong lô-ga-rít của giá cổ phiếu như một bước đi ngẫu nhiên trong đó những thay đổi ngắn hạn đã có một variance hữu hạn. Điều này gây ra những thay đổi dài hạn để theo một phân phối Gau-xơ. Công trình của Bachelier, tuy nhiên, phần lớn là không được biết bên ngoài học viện.

Lý thuyết vẫn không hoạt động cho đến khi Fischer Black và Myron Scholes, cùng với các đóng góp cơ bản của Robert C. Merton, được áp dụng quy trình có ảnh hưởng thứ hai, chuyển động Bờ-rao hình học, đối với định giá quyền chọn. Cho điều này M. Scholes và R. Merton đã được trao năm 1997 giải Nô-ben tưởng niệm trong khoa học kinh tế. Black là không đủ điều kiện cho giải thưởng vì cái chết của ông vào năm 1995.

Bước quan trọng tiếp theo là định lý cơ bản của định giá tài sản bởi Harrison và Pliska (1981), theo đó mức giá hiện tại bình thường phù hợp P0 của một chứng khoán là không hưởng chênh lệch, và do đó thực sự hợp lý, chỉ khi tồn tại một quá trình ngẫu nhiên Pt với giá trị kỳ vọng không đổi trong đó mô tả sự phát triển tương lai của nó:

Một quá trình đáp ứng (1) được gọi là một "martingale". Một martingale không thưởng rủi ro. Do đó xác suất của quá trình định giá chứng khoán thường hóa được gọi là "rủi ro trung tính" và thường được ký hiệu bởi chữ cái blackboard font " Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ".

Mối quan hệ (1) phải nắm giữ cho tất cả các thời gian t: do đó quá trình này được sử dụng để định giá phái sinh được thiết lập tự nhiên trong thời gian liên tục.

Các nhà phân tích định lượng người hoạt động trong thế giới Q của định giá phái sinh là những chuyên gia có kiến ​​thức sâu sắc về các sản phẩm đặc thù mà họ mô hình.

Các chứng khoán có giá cụ thể, và do đó những vấn đề trong thế giới Q là thấp chiều trong tự nhiên.Hiệu chuẩn là một trong những thách thức chính của thế giới Q: một khi một quá trình tham số thời gian liên tục đã được hiệu chỉnh thành một tập hợp các chứng khoán được giao dịch thông qua một mối quan hệ như (1), một mối quan hệ tương tự được sử dụng để xác định giá của các phái sinh mới.

Các công cụ định lượng chính cần thiết để xử lý quá trình Q thời gian liên tục là tính toán ngẫu nhiên Ito và các phương trình vi phân (PDE).